Формулы пренумерандо и постнумерандо. Срочный аннуитет. Учет особенностей начисления процентов

Аннуитет пренумерандо – англ. Annuity Due , представляет собой серию платежей, которые периодически осуществляются в начале каждого периода (например, месяц, квартал, полугодие или год). Этот тип инструмента может представлять из себя инвестицию или кредит, в зависимости от цели и владельца аннуитета. Примером аннуитета могут служить сберегательные счета, страховые полисы, ипотека и другие подобные инвестиции. Ключевой особенностью аннуитета пренумерандо является то, что все платежи осуществляются в начале каждого периода.

Концепция стоимости денег во времени предполагает широкое использование аннуитетов в финансовых расчетах. Ее суть заключается в том, что стоимость 1 у.е. сегодня выше, чем стоимость 1 у.е. завтра. Например, банки и другие финансовые институты предлагают выплачивать проценты по депозитам, стимулируя инвесторов вкладывать свои свободные средства. В этой ситуации возникает понятие упущенной выгоды, когда инвестор мог бы получить доход, вложив свои средства, но не сделал это. На этом и базируется концепция стоимости денег во времени, которая использует такие понятия как будущая стоимость, настоящая стоимость, процентная ставка, ставка дисконтирования или требуемая норма доходности (англ. Required Rate of Return ), инвестиционный горизонт.

где A – размер платежа;

i – процентная ставка за период;

N – количество периодов.

Например, инвестор намеревается ежемесячно размещать на депозит по 500 у.е. в течение 2-ух лет под 7% годовых при условии, что каждый взнос будет осуществляться в начале каждого месяца. Чтобы рассчитать сумму, которая будет в распоряжении инвестора воспользуемся приведенной выше формулой. Однако прежде необходимо привести годовую процентную ставку к месячной, которая составит 0,583% (7%/12). При этом количество периодов составит 24 (24 месяца).

Таким образом в распоряжении инвестора через два года окажется сумма в размере 12914,87 у.е.

Для расчета настоящей стоимости аннуитета пренумерандо необходимо использовать следующую формулу.

Эта формула, например, может быть использована для расчета размера аннуитетного платежа по кредиту. Допустим, заемщик намеревается взять кредит в банке на сумму 25000 у.е. сроком на 5 лет под 17% годовых при условии, что кредит будет погашаться ежемесячно. Чтобы рассчитать размер платежа необходимо воспользоваться формулой настоящей стоимости аннуитета пренумерандо, выразив из нее платеж (A ).

Тема 8. ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ

1. Оценка постоянного аннуитета пренумерандо.

2. Метод депозитной книжки.

3. Бессрочный аннуитет.

4. Непрерывный аннуитет.

Если на денежные поступления начисляются только сложные проценты, то соответствующие расчетные формулы для нара­щенных сумм аннуитета пренумерандо можно легко вы­вести из формул (7.7), (7.11), (7.12), (7.14). Поскольку денежные поступления в аннуитете пренумерандо происходят в начале каждого периода, то этот аннуитет отличается от аннуитета постнумерандо количеством периодов начисления процентов.

Например, для срочного аннуитета пренумерандо с регуляр­ными денежными поступлениями, равными А , и процентной ставкой , наращенный денежный поток имеет вид

следовательно, учитывая (7.7),

т.е. наращенная сумма (будущая стоимость) аннуитета пренуме­рандо больше в раз наращенной суммы аннуитета постнумерандо.

Аналогичным образом для аннуитета пренумерандо с начис­лением процентов раз в течение базового периода, используя (4.11), получим:

(7.32)

Для р -срочных аннуитетов с учетом (4.12), (4.14) можно на­писать следующие соотношения:

(7.33)

(7.34)

Конечно, (7.31) - (7.33) являются частными случаями (7.34). Из формулы (7.34) следует, что . Финансовый смысл этого неравенства очевиден: для получателя денежные поступления пренумерандо выгоднее, так как они начинаются на период раньше, чем постнумерандо, т.е. подтверждается вре­менная ценность денег: деньги "сейчас" предпочтительнее, чем "потом".

Несколько иной будет ситуация в р -срочном аннуитете пре­нумерандо, когда на взносы, поступающие в течение базового периода, начисляются простые проценты. В отличие от аннуи­тета постнумерандо в этом аннуитете в каждом периоде любой взнос "действует" еще ю) часть периода, тем самым доставляя к концу периода дополнительную величину. Следовательно, к концу каждого периода взносы, число которых равно р , доставят величину .

После таких рассуждений качественного характера выведем аналитически формулу для будущей стоимости .

На последнее р -е поступление начисляются простые проценты за ю) часть периода, и оно будет равно , предпоследнее -е поступление станет равным и т.д. до первого поступления, которое станет равным . Следовательно, сумма этих величин, образующих арифметиче­скую прогрессию, равна:

Таким образом, используя (7.13), получим:

С финансовой точки зрения эта формула следует из приве­денных качественных рассуждений. Поскольку к концу каждого периода взносы доставляют дополнительную величину , то к будущей стоимости исходного аннуитета постнумерандо нужно прибавить еще будущую стоимость аннуитета постнумерандо с денежными поступлениями, равными , а это и есть второе слагаемое в формуле (7.35). Естественно, и в этом случае .

В случае начисления только сложных процентов формулы для расчетов приведенных стоимостей аннуитетов пренумеран­до имеют вид, аналогичный формулам (7.31) - (7.34), т.е. нахо­дится приведенная стоимость соответствующего аннуитета по­стнумерандо и затем полученное значение умножается на соот­ветствующий множитель наращения. Таким образом, рассмат­ривая различные аннуитеты, можно написать:

(7.37)

(7.38)

(7.39)

Ясно, что . Из приведенных формул понятно, почему в финансовых таблицах не уточняется, какая схема под­разумевается в финансовой сделке - постнумерандо или пре­нумерандо; содержание финансовой таблицы инвариантно к этому фактору. Однако при применении расчетных формул или финансовых таблиц необходимо строго следить за схемой по­ступления денежных платежей.

Пример:

Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 тыс. руб. Банк платит 20% годовых. Какая сумма бу­дет на счете по истечении трех лет?

В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо, будущую стоимость которого и предлагается оценить. В соот­ветствии с формулой (7.31) найдем искомую сумму S:

Многие практические задачи могут быть решены различны­ми способами в зависимости от того, какой денежный поток вы­делен аналитиком. Рассмотрим простейший пример.

Пример:

Вам предложено инвестировать 100 тыс. руб. на срок пять лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс. тенге). По истечении пяти лет выплачивается дополни­тельное вознаграждение в размере 30 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно "безопасно" депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

тыс. тенге

В отношении альтернативного варианта, предусматривающе­го возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 тыс. тенге можно немед­ленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с , , и единовременное получение суммы в 30 тыс. тенге;

б) как срочный аннуитет пренумерандо с , , и единовременное получение сумм в 20 и 30 тыс. тенге.

В первом случае на основании формулы (7.7) имеем:

тыс. тенге.

Во втором случае на основании формулы (7.31) имеем:

тыс. тенге.

Естественно, что оба варианта привели к одинаковому отве­ту. Таким образом, общая сумма капитала к концу пятилетнего периода будет складываться из доходов от депонирования денег в банке (107,056 тыс. тенге), возврата доли от участия в венчур­ном проекте за последний год (20 тыс. тенге) и единовременного вознаграждения (30 тыс. тенге). Общая сумма составит, следова­тельно, 157,056 тыс. тенге. Предложение экономически нецелесо­образно.

В случае антисипативного начисления процентов формулы для оценки аннуитета пренумерандо получаются таким же обра­зом, как и приведенные ранее формулы. Величины будут умножаться на соответствующий множитель. На­пример, формулы типа (7.31), (7.36) будут иметь вид:

(7.40)

(7.41)

Если начисляются непрерывные проценты, то для получения формул определения будущей или приведенной стоимости ан­нуитета пренумерандо необходимо перейти к пределу при , например, в формулах (7.34), (7.39). Так, в частности, из (7.34) следует, что для непрерывных процентов

,

Аннуитет – это общепринятый термин, который означает структуру погашения финансового механизма (ежемесячная оплата кредита, процентов и т.д.).

Аннуитетные выплаты структурируются одинаковыми суммами через одинаковое количество времени. График погашения, предоставленный данным способом, имеет определенные отличия от обычного графика погашения, где вся сумма должника направлена на конец срока финансового механизма. При обычном графике построения выплат сначала происходит оплата процентов, а только потом списывается основная сумма долга.

Иными словами, аннуитет представляет собой определенную систему выплаты задолженности, где сумма долга и процентов выплачиваются равномерно в течение всего срока кредитования. Еще аннуитет называют финансовой рентой, что по своей составляющей одно и то же.

Например, если заработная плата работнику начисляется каждый месяц в равном количестве, то данный доход является аннуитетным. При оформлении рассрочки в магазине на какой-либо товар, ежемесячный платеж в банк тоже будет иметь статус аннуитета.

Виды аннуитета

Сумма аннуитетного платежа всегда складывается из основного долга и процентных соотношений. В своем понятии данный термин имеет широкий охват: аннуитетом могут считаться:

• срочный государственный заем в виде кредита, где ежегодно происходит оплата процентов и частично оплачивается сумма долга;
• обыкновенный кредит для физических и юридических лиц;
• страховой договор, который позволяет физическому лицу, заключившему его, рассчитывать на определенные выплаты по истечению заявленного срока времени (к примеру, выход на пенсию);
• серия страховых выплат (например, при несчастном случае).

Аннуитет всегда устанавливается банковскими организациями индивидуально для каждого клиента. Он бывает двух видов:

• аннуитет постнумерандо, где платеж должен осуществляться во второй половине отчетного периода;
• аннуитет преднумерандо, где платеж должен осуществляться в первой половине отчетного периода.

Также аннуитет делится на:

При срочном аннуитете средства зачисляются в определенный период, который имеет ограниченное количество времени. Поступление денег характеризуется равными частями и через одинаковый промежуток времени. Расчет данного вида аннуитета происходит по системе наращения или по системе дисконтирования. Дисконтирование – это выявление стоимости выплат при помощи изучения денежных поступлений к определенной временной точке. Проще говоря, это анализ соотношения будущих доходов к их сегодняшней стоимости. Примерами срочных аннуитетов могут быть разного рода платежи за аренду жилья, земли и др.

Бессрочным аннуитетом принято считать равные выплаты через равный промежуток времени в течение долгого срока. Консоль является отличным примером для понимания специфики бессрочного аннуитета. Данные облигации, поддерживаемые государством, имеют срок действия более 30 лет.

Аннуитетные выплаты имеют различие по количеству выплат. Они могут выплачиваться как один раз в год, так и несколько раз в течение года (при срочном аннуитете).

Начисление процентов может происходить один раз в год, несколько раз в год или непрерывно. Этот вопрос всегда решается в индивидуальном порядке между банковской организацией и клиентом.

В зависимости от финансовой ситуации в стране или политики банка, могут устанавливаться:

Для того, чтобы определить сумму равных выплат по кредитованию в течение определенного времени, необходимо рассчитать коэффициент аннуитета, который способен преобразовать единовременную выплату в платежный график.

Расчет аннуитета (формулы)

Для расчета данного коэффициента используется специальная общепринятая формула:

С практической точки зрения могут возникать некоторые расхождения от математического расчета при помощи формулы: для удобства совершения платежа может быть применена система округления суммы выплат или же округление суммы проводится из-за разного числа дней в том или другом месяце. В особенности это касается последнего месяца в графике платежей. По факту, замыкающая список сумма всегда отличается в меньшую сторону на некоторое значение.

Практически всегда при аннуитете платежи производятся в конце отчетного периода – постнумерандо. В данном случае, сумма выплаты за период должна рассчитываться по другой формуле:

Для того, чтобы более детально рассмотреть структуру аннуитетных платежей, стоит решить простую задачку. Например, нужно рассчитать ежемесячную выплату по кредиту сроком на пять лет и с суммой в 30 тысяч рублей под 8% годовых. Выплаты будут осуществляться ежемесячно, то необходимо перевести годовую процентную ставку в месячную. Делается это по довольно простой формуле:

Далее нужно подставить в формулу значения i = 0.00643 и n = 60 (5 лет – это 60 месяцев). Полученный коэффициент нужно умножить на величину кредита – 30000. В итоге получаем, что сумма ежемесячного платежа равна примерно 603 рубля.

Выплата кредитного займа происходит обычно каждый месяц или каждый квартал. При таких выплатах задается годовая процентная ставка i. При условии, что выплаты назначаются постнумерандо m раз в год за n лет, то существует формула, которая отличается от предыдущей формулы повышенной точностью расчета аннуитетного коэффициента:

Указанная формула для расчета коэффициента аннуитетных платежей основывается на наращении величины долговой суммы при помощи сложной процентной формулы. В банковских расчетах имеется еще одна формула для определения коэффициента, которая основывается на наращении величины долговой суммы при помощи простой процентной формулы. Отличительная черта простых и сложных процентов – это отсутствие промежутка в капитализации процентных соотношений. В данном раскладе будет в первую очередь производиться погашение основного долга, а уже после его оплаты пойдет оплата процентов.

Стоит отметить, что выполнять все вышеперечисленные действия собственноручно – это очень долго и трудоемко. Уйдет большое количество времени, чтобы разобраться в одним человеком, а если нужно рассчитать несколько сотен аннуитетов, то ситуация для простого сотрудника банка окажется совершенно невыполнимой. Поэтому при оформлении кредита работники банковских организаций имеют в своем арсенале специальные калькуляторы и программы, где нужно только правильно вписать числовые значения, и они самостоятельно рассчитают график аннуитетных платежей для каждого клиента.

Достоинства аннуитетных платежей

Аннуитетные платежи являются одним из современных способов погашения кредитного долга перед банком. Данный вариант оплаты долгового обязательства не всегда является выгодным для клиента, но отличается повышенным удобством – отсутствует неразбериха «когда платить и в каком количестве». Платеж по кредиту поступает ежемесячно в одно и то же время и в одинаковом денежном эквиваленте. Это огромный плюс для клиента и для банковской организации: нет нужды идти в банк и брать расчетный лист для выявления суммы долга на последующий месяц.

Помимо этого данный способ оплаты кредита предпочтителен для тех лиц, которые имеют невысокий заработок.

Вместе с аннуитетными платежами существует оплата кредитного долга по дифференцированной системе, где выплаты ежемесячно подвергаются перерасчету, потому что происходит оплата части процентов от конечной величины долга клиента. С каждым месяцем после оплаты кредита сумма долга уменьшается и, соответственно, процентная величина также изменяется. Выходит, что каждый месяц необходимо вносить все меньшее количество денег, но первоначальные суммы платежа достаточно высокие и не каждое лицо имеет возможность их вносить.

Недостатки

У данного вида платежей имеется один большой минус: первоначально выплаты строятся с преобладанием процентного эквивалента, т.е. сумма долга строится на 2/3 из процентов, а 1/3 – это сумма долга.

Аннуитет является выгодным банковской организации: сначала банк обезопасит себя, забрав проценты, а потом уже «примет» кредитные деньги.

Если клиент намерен досрочно погасить свой долг, то эту операцию следует произвести до того момента, как будут выплачены проценты. Данная операция практически не будет иметь смысла при погашении «после» — сумму, отданную за проценты, никто не вернет. В таком случае досрочное погашение просто избавит от кредитного обязательства.

Подведя итог, можно сказать, что аннуитет – это хороший выход для заемщиков, которые имеют долговое обязательство и не обладают высоким уровнем дохода. Ведь всегда легче и проще платить раз в месяц одинаковую сумму в один и тот же день.

Аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение n i c .

Общая наращенная сумма определяется по формуле:

где k i , n – коэффициент наращения в удобном для вычислений виде равен:

Коэффициент наращения может быть определён по таблице 3 наращенного значения аннуитета.

Пример 13. Для погашения пакета облигаций, выпущенных ОАО «Интерком» на 5 лет, создаётся выкупной фонд. Ежегодные платежи предприятия в него составляют 150 000 руб., на них в конце каждого года начисляются проценты по ставке 7 %. Определите итоговую наращенную сумму денежных средств.

Решение. Для расчёта будущей стоимости выкупного фонда используем формулу

Коэффициент наращения определим по формуле
Аналогичный результат получим по таблице.

Итоговая наращенная сумма будет равна S = P ∙
150 000 ∙ 5,7507 = 862605 руб.

Таблица 3. Коэффициенты наращения а ннуитета

Аннуитет пренумерандо

Аннуитет пренумерандо с ежегодными платежами Р в течение n лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке i c .

Очевидно, отличие от предыдущего случая состоит здесь в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличивается на один год, т. е. каждая наращенная сумма S k увеличивается в (1 + i c ) раз. Следовательно, для всей суммы S n имеем S n = S (1 + i c ).

Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо
получаем следующее соотношение:

Для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке i c проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета постнумерандо. Поэтому каждая современная величина А к будет больше в (1 + i ) раз. Таким образом, А п = А(1 + i c ).А для коэффициента приведения a i , n п получаем

Для определения коэффициентов наращения и приведения обыкновенного аннуитета существуют таблицы, которыми удобно пользоваться в практических вычислениях. Нужно иметь в виду, что n в данном случае – не число лет, а число периодов одинаковой продолжительности (день, месяц, квартал и т. д.), в которых принята данная процентная ставка. Таким образом, если задана годовая процентная ставка, можно найти эквивалентную ей ставку на более коротком интервале и рассматривать далее п как число таких интервалов.

Пример 14. Найти современную величину потока платежей, определяемого следующим образом: первый год – поступления 500 руб., второй год – поступления 200 руб., третий год – выплата 400 руб., далее в течение семи лет – доход по 500 руб. Ставка дисконтирования – 6% годовых.

Решение .

В данном примерепоток платежей в течение последних семи лет представляет собой постоянный аннуитет. По формуле
мы можем рассчитать его современную величину A 0 . Нельзя забывать, что это будет современная величина на момент начала четвертого периода: A 0 = 500 5,58 = 2791 руб. (коэффициенты приведения находим по таблице 4.

Далее, используя формулу
, находим современные значения на момент начала потока платежа для всех оставшихсяплатежей и величины A 0 :

А 1 = 500 0,943 = 471,5 руб.;

А 2 = 200 0,890 = 178,0 руб. ; А 3 = –400 0,840 = –336,0 руб.;

А 4 = 2791 0,840 = 2344,4 руб.;

Складывая получившиеся величины, находим современную величину всего потока платежей: А 0 = А 1 + А 2 + А 3 + А А = 2657,9 руб.

Таблица 4. Коэффициенты приведения аннуитета

_________________________________________________________________________________________

В большинстве современных коммерческих операций подразу­меваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, выплата задолженностей, регулярные или нерегу­лярные взносы для создания разного рода фондов и т. д. Такая последовательность называется потоком платежей.

Поток. однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).

Теория аннуитетов является важнейшей частью финансовой математики. Она применяется при рассмотрении вопросов доход­ности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т. д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пен­сионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата про­центов по ценным бумагам.

Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:

• величиной каждого отдельного платежа;
• интервалом времени между двумя последовательными плате­жами (периодом аннуитета);
• сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени - вечные аннуитеты);
• процентной ставкой, применяемой при наращении или дис-контировании платежей.

Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале со­ответствующих интервалов, носит название аннуитета пренуме-рандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) -по­жалуй, самый распространенный случай.

Наибольший интерес с практической точки зрения представля­ют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (посто­янные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью. Именно такие аннуитеты мы и изучим в даль­нейшем.

Введем следующие обозначения:

Р - величина каждого отдельного платежа;

ic -сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;

Sk -наращенная сумма для k-го платежа аннуитета постну­мерандо;

S- наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постнуме­рандо (т. е. сумма всех платежей с процентами);

Ak -современная величина k-го платежа аннуитета постну­мерандо;

А - современная величина всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма современных величин всех платежей);

Sп - наращенная сумма аннуитета пренумерандо;

Aп -современная величина аннуитета пренумерандо;

n - число платежей.

Рассмотрим аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение п лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке i c (рис. 5).

Рис. 5.

Сумма S 1 для первого платежа, проценты на который будут на­числяться, очевидно, (n - 1) раз, составит по формуле (3.1):

S 1 = Р(1 + i c) n-1

Для второго платежа (проценты на него будут начисляться на один год меньше) имеем

Sn=P Тогда для общей наращенной суммы имеем

• (7.1)

где ki,n- коэффициент наращения аннуитета с параметрами i, n - представляет собой, как можно заметить, сумму членов гео­метрической прогрессии, для которой первый член a 1 равен 1, а знаменатель (назовем его q)составляет (1 + i c).

Используя математическую формулу для суммы членов геомет­рической прогрессии:

запишем выражение (7.1) в более удобном для вычислений виде:

Для коэффициента наращения, соответственно, имеем

Найдем теперь современную величину А данного аннуитета (рис. 6).

Рис. 6.

При заданной процентной ставке ic современное значение каж­дого платежа будет определяться по формуле:

Современная величина всего аннуитета, следовательно, соста­вит

где ai,n - коэффициент приведения аннуитета, опять является суммой геометрической прогрессии, теперь уже с параметрами а 1 =q=1/(1 +i c).

Тогда для ai,n получаем выражение:

для современной величины А соответственно

Как видим, современная величина и наращенная сумма анну­итета связаны между собой соотношением:

S=A(1+i c) n (7.6)

Из полученных формул путем преобразований легко получить еще несколько формул.

Так, для определения размера очередного платежа (Р) имеем

Для определения срока аннуитета (п), при прочих заданных условиях, получаем

Для конкретных вычислений выбирается одна из двух формул каждой пары в зависимости от заданных известных величин.

Очевидно, отличие от предыдущего случая состоит здесь в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличива-

Рис. 7. Будущая стоимость аннуитета пренумерандо

ется на один год, т. е. каждая наращенная сумма Skувеличивается в (1 + ic)раз. Следовательно, для всей суммы Sпимеем

Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо k п i,n по­лучаем следующее соотношение:

Можно также заметить, что для определения современных зна­чений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке ic проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета пренуме­рандо. Поэтому каждая современная величина Аkбудет больше в (1 +0 раз. Таким образом,

А для коэффициента приведения а п i,n получаем

a п i,n =a i,n (1+i c) (7.14)

Для нахождения размера платежа и срока аннуитета пренуме­рандо можно по формулам (7.11) и (7.13) найти для заданных зна­чений Sпи Aп соответствующие значения Sи А и пользоваться далее формулами, выведенными для аннуитета постнумерандо.

Для определения коэффициентов наращения и приведения обыкновенного аннуитета существуют таблицы, которыми удобно пользоваться в практических

вычислениях. Максимальные процентные ставки в таких таблицах обычно не превышают 30-40%, что значительно ниже размера процентных ставок, применяемых в России в настоящее время. Но нужно иметь в виду, что п в данном случае - не число лет, а число периодов одинаковой про­должительности (день, месяц, квартал и т. д.), в которых принята данная процентная ставка. Таким образом, если задана годовая процентная ставка, можно найти эквива­лентную ей ставку на более коротком интервале и рассмат­ривать далее п как число таких интервалов.

Если срок аннуитета n не ограничен, мы получаем случай веч­ного аннуитета. Для аннуитета постнумерандо выражения для на­ращенной суммы и современной величины приобретут следую­щий вид:

Для аннуитета пренумерандо, соответственно, получаем

Таким образом, различие между двумя типами вечных аннуи­тетов, естественно, сказывается на определении их современной величины.

Не менее важен случай, когда последовательность платежей из­меняется по некоторому закону, и, следовательно, также может быть описана с помощью математических средств.

Рассмотрим обыкновенный аннуитет, в котором платежи по­стоянно увеличиваются на определенную положительную величи­ну h,т. е. являются членами арифметической прогрессии с пер­вым членом a1 = Р и разностью h. Т. е. платежи представляют собой ряд:

Р, Р+ h, Р+ 2h,... Р+ (п- 1)h.

Для наращенной суммы всего аннуитета получаем следующее выражение:

S=Р(1+ i c) n-1 + (Р+ h)(1+ ic) n-2 + (р+ 2h)(1+ ci) n-3 +...+ [Р+ (n -1)h].

Умножим обе части данного равенства на (1 + ic) вычтем первое выражение из полученного после умножения:

S ic= P(1+ ic)n -[Р+(п -1)h]+h(1+ ic)n-1+ h(1+ ic)n-2+...+ h(1+ ic).

Видно, что часть полученного равенства представляет собои сумму членов геометрической прогрессии, где a1= h{1+ ic); q = = (1 + ic). После несложных преобразований получаем:

Найдем теперь современное значение аннуитета А.

Умножим обе части равенства на (1 + i c) n .

A(1+i c) n =P(l+i c) n-1 +(P+ h)(1+i c) n-2 + ... + =S.

Как видим, в данном случае верна формула (7.6), полученная ранее для обыкновенного аннуитета:

А (1 + i с) n - S,

Возможен также случай, когда платежи постоянно возрастают в q раз, т. е. являются членами геометрической прогрессии:

Р, Pq, Pq 2 , ... , Pq n-1 , Тогда для наращенной суммы аннуитета имеем

S=Р[(1+ i c) n-1 + q(1+ i c) n-2 +/(1+ i c) n-3 +...+q n-1 ].

В квадратных скобках мы получили геометрическую прогрес­сию с первым членом а1 =(1 + ic)nи знаменателем q/(1 + ic). Ис­пользуя опять формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем выражение для S:

S=P/.

Очевидно, чтобы найти современное значение аннуитета А, здесь также можно применить формулу (7.6):

A=P/.

Теперь мы имеем возможность решить пример по определению потока платежей произвольной величины.

Найти современную величину потока платежей, определяемого следующим образом: первый год - поступления 500 ам. долл., второй год - поступления 200 ам. долл., третий год - выплата 400 ам. долл., далее в течение семи лет - доход по 500 ам. долл. Став­ка дисконтирования - 6% годовых. Решение

В данном примере поток платежей в течение последних семи лет представляет собой постоянный аннуитет. По формуле (7.5) мы можем рассчитать его современную величину aq. Нельзя за­бывать, что это будет современная величина на момент начала четвертого периода:

500 5,58 = 2791 (ам. долл.)

(коэффициенты приведения находим по таблице 4 Приложе­ния 2). Далее, используя формулу (3.11), находим современные значения на момент начала потока платежа для всех оставшихся платежей и величины aq:

А1 = 500 0,953 = 471,5 (ам. долл.);

A2 =200 0,89 = 178 (ам. долл.);

А3 = 400 0,840 =336 (ам. долл.);

А4=2791 0,840 = 2344,44 (ам. долл.).

Складывая получившиеся величины, находим современную ве­личину всего потока платежей:

A =A1 +А2+ А3+ А4= 2657,94 ам. долл.

Современная величина аннуитета

Во всех случаях, когда в произвольном потоке пла­тежей встречаются серии, которые могут быть опи­саны как постоянные или изменяющиеся по некоторому за-

кону аннуитеты, следует обращать внимание на начальный момент и срок этих аннуитетов, не совпадающие с началь­ным моментом и сроком полного потока платежей.

Следующий этап нашего изучения -конверсия аннуитетов. Под конверсией аннуитета понимается такое изменение на­чальных параметров аннуитета, после которого новый аннуитет был бы эквивалентен данному.

Два аннуитета считаются эквивалентными, если равны их со­временные величины, приведенные к одному и тому же моменту времени.

На практике необходимость рассчитать параметры эквивалент­ного аннуитета чаще всего возникает при изменении условий вы­платы долга, погашения кредита или займа и т. п. При этом кон­версия может произойти как в момент начёта аннуитета (на этот момент и рассчитываются современные величины эквивалентных аннуитетов), так и после выплаты некоторой части аннуитета. В последнем случае все расчеты производятся на остаток долга в момент конверсии.

Рассмотрим наиболее распространенные случаи конверсии по­стоянных аннуитетов.

1. Через некоторый промежуток времени n0 (он может быть равен и 0)после начала аннуитета весь остаток долга может быть выплачен за один раз (выкуп аннуитета). Очевидно, что в этом случае величина выплачиваемой суммы будет равна современной величине остатка аннуитета, рассчитанной для срока n1 = n- n0.

• 2. Может возникнуть задача, обратная предыдущей: задолжен­ность погашается частями, в виде выплаты постоянного аннуите­та, и требуется определить один из параметров аннуитета при за­данных остальных. Поскольку здесь известна сумма долга, т. е. современная величина аннуитета, для нахождения неизвестного параметра используем формулы (7.8)или (7.10).
• 3. Период выплаты долга может быть изменен при сохранении прежней процентной ставки. Величину Р1 платежа для срока n1 находим, используя уравнения эквивалентности (приравниваются современные значения аннуитетов):

Очевидно, что. если срок аннуитета увеличится, значение Р со­кратится. и наоборот.

4. Может возникнуть ситуация, когда величина платежа P дол­жна быть изменена в ту или другую сторону. Рассмотрим данный случай на примере 28.

Для погашения кредита, выданного под сложную процентную ставку 4%годовых, в течение 10лет должны вноситься ежегодные платежи в размере 5 000ам. долл. Изменившиеся условия дают возможность с самого начала вносить по 7 500ам. долл. Опреде­лить новый срок n1, за который долг будет полностью выплачен. Решение

Рассчитаем сначала современную величину имеющегося анну­итета (которая и представляет собой величину долга на начальный период). По формуле (7.5)получаем

А= 5 000 /0,04 - 40554,5(ам. долл.). Далее для изменившегося Р найдем коэффициент приведения аннуитета по той же формуле:

аi,n =А/Р 1 = 40554,5ам. долл./ 7500ам. долл. = 5,4.

Используя таблицу 4Приложения 2найдем значение n 1 , более всего подходящее данному коэффициенту при процентной ставке4%, округляя его в меньшую сторону: n 1 = 6. Поскольку значениеn1найдено приближенно, необходимо рассчитать современное значение нового аннуитета:

А1 = 7 500 /0,04 = 39 316(ам. долл.). Если величины платежей изменяться не могут, недостающая сумма A0 = 40 554,5 - 39316 = 1238,5(ам. долл.) должна быть выплачена кредитору сразу. (Пример, когда в такой ситуации кор­ректируются величины платежей, рассматривается в конце этого раздела).

5. Начало выплаты задолженности при заданной процентной

ставке ic может быть отсрочено: а) при сохранении размера платежа; б) при сохранении срока выплаты.

Очевидно, что в первом случае должен увеличиться срок анну­итета, а во втором -величина платежа.

Обозначим через n 0 период отсрочки. Тогда на момент начала выплаты, сумма долга а1, которая должна являться современной величиной нового аннуитета, составит по формуле сложного про­цента:

A1=A(1+ic) n0 . Отсюда получаем уравнение эквивалентности:

Р = P (1 + i c) n0

Далее поступаем аналогично рассмотренным ранее случаям. В первом варианте находим значение n1 продолжительности нового аннуитета при заданном значении Р1 = Р (n1 будет найдено при­ближенно, поэтому потребуется выплата компенсирующей сум­мы, см. пример 28). Во втором - величину платежа Р1 при n 1 = = n – n 0 .

6. В некоторых случаях может потребоваться объединение не­скольких аннуитетов в один (консолидация аннуитетов). При этом объединяемые аннуитеты могут быть любыми, а в искомом объединяющем аннуитете один из параметров неизвестен при всех остальных заданных.

Два аннуитета с параметрами:

• 1) величина платежа - 2 000 ам. долл., процентная ставка - 5% годовых, срок - 12 лет;
• 2) величина платежа - 3 500 ам. долл., процентная ставка - 6% годовых, срок - 10 лет;

требуется заменить одним - со сроком 10 лет и процентной став­кой 6% годовых.

Определить величину нового платежа.

Найдем сначала общую современную величину двух аннуите­тов. По формуле (7.5) имеем

А = A1 +A2=2000/0,05+ + 3 500 /0,06 = = 17 726,5 + 25 760,3 = 43 486,8 (ам. долл.). Далее по формуле (7.7) находим величину нового платежа:

Р = 43 486,8 0,06/ = 5 930 (ам. долл.).

Нам остается теперь рассмотреть важное практическое прило­жение теории аннуитетов - составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. При составлении плана по-

гашения интерес представляют размеры периодических платежей заемщика - выплаты процентов и выплаты по погашению основ­ной суммы долга - при различных условиях погашения (такие платежи носят название срочных уплат).

Основных вариантов погашения задолженности - пять:

• 1. Займы без обязательного погашения, по которым постоянно выплачиваются проценты. Задача в данном случае заключается в нахождении размера выплачиваемой суммы Р при заданной про­центной ставке /. Мы имеем здесь случай вечного аннуитета. Раз­мер платежа определяется по формуле (7.15), из которой получаем P=Ai c .
• 2. Погашение долга в один срок

Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, целесообразным бывает создание погасительного (амортизацион­ного) фонда, для чего периодически вносятся определенные сум­мы, на которые начисляются проценты.

Если процентная ставка, под которую вносятся средства, не превышает размеров ставки, под ко­торую выдается заем, создание погасительного фонда не имеет смысла. Выгоднее сразу расплачиваться этими сум­мами с кредитором.

Введем обозначения:

D- основная сумма долга (без процентов);

i c -ставка процента по займу;

I - процент по займу;

Р - размер взноса в погасительный фонд;

g -ставка, по которой начисляются проценты на взносы в фонд;

У - величина срочной уплаты;

n -срок займа.

Найдем величину срочной уплаты У и ее составляющих (К=1+Р).

По определению I = D i c .

Сумма, накопленная в погасительном фонде за n лет, т. е. на­ращенная сумма аннуитета с параметрами Р, п, g, должна соста­вить величину D. По формуле (7.2) получаем

D = Р[(1 +g)n-1]/g. Отсюда

P=Dg/[(1 +g)n-1].

Значит, в данном случае величина срочной уплаты определяет­ся формулой:

Y=Di c + Dg/[(1+ g) n -1]. (7.23)

Если проценты не выплачиваются, а присоединяются к основ­ной сумме долга, то срочная уплата будет состоять только из взно­сов в погасительный фонд.

Общая сумма долга составит по формуле (3.1) величину D(1 + ic)n, откуда получаем

Y= Р= D(1 +i c) n g/[(1+g) n -1].

3. Погашение долга равными суммами

Пусть долг погашается в течение n лет равными суммами, а проценты периодически выплачиваются. Тогда на погашение по­стоянно идут платежи размером D/n, а процентные выплаты еже­годно сокращаются, так как уменьшается основная сумма долга. Обозначим

Dk- сумма долга после k-го года:

Ik - процентная выплата за k-й год. Тогда

D1= D- D/n = D(1 -1/n);

На конец второго года получаем D2= D1- D/n= D(1 -2/);

I2= D(1- 1/n)ic;

Y2 = D(1 -1/n) ic+ D/n,и т. д.

Для определения размера срочной уплаты и процентного пла­тежа после k-го года получаем Dk= D(1- k/n);

Ik= D(1 -(k-1)/n] ic:

Yk= D ic+ D/n.

На конец срока, т. е. n-го года имеем

Dn= D(1- n/n) = 0:

Yn= D |1 – (n -1)/n] ic+ D/n = D (1 + ic)/n. Видно, что самые большие суммы приходится платить в начале периода погашения, что может в большинстве случаев расцени­ваться как недостаток этого метода погашения задолженности.

4. Погашение долга с использованием постоянных срочных уплат

Пусть займ величиной D, выданный пол сложную годовую про­центную ставку ic, погашается в течение /; лет равными срочными уплатами Y= 1 + Р. Понятно, что со временем составляющая I

• (проценты по займу) будет уменьшаться, так как уменьшается ос­новная сумма задолженности. Соответственно, составляющая Р (сумма, идущая на погашение займа) будет увеличиваться.

Выведем формулы для расчета суммы процентных денег и сум­мы на погашение долга на конец k-го года.

Периодическая выплата постоянной суммы Y при заданной процентной ставке ic в течение п лет является аннуитетом с соот­ветствующими параметрами.

Поэтому величина срочной уплаты определяется по формуле (7.9):

Y= D/a i,n (a i,n - коэффициент приведения ренты).

Обозначив через Рk сумму, идущую на погашение займа в кон­це k-го года, запишем следующие соотношения:

• 1)I k +P k =I k+1 +P k+1 ;
• 2) D k = D k-1 - P k ;
• 3) I k = D k-1 i с. откуда D k-1 = Ik/ic;
• 4) Ik+1= Dkic, откуда Dk =Ik+1/ic

Подставляя выражения 3) и 4) в соотношение 2), получим

Ik+1/ic=Ik/i c -рk, откудаi k+1 =Ik-P k i c Перепишем выражение 1), используя последнее равенство:

Ik+ Pk= Ik- Pkic+ Pk+1

откуда получаем

Pk+1=Pk(1+ic)=P1(1+ic) k

Так как I 1 = Di c для Р, получаем

P1=D/a i,n -Di c =D (l/a i,n -ic). Следовательно,

Pk=D(1/a i,n -ic)(1+ic) k-1

Ik=D k-1 ic =Dic/с - D (1/a i,n -ic)[(1 + i c) k-1 ].

Когда займ погашается постоянными срочными уплатами, их величина может быть заранее задана, и тогда возникает задача определения периода погашения долга п. Вопрос определения срока аннуитета рассматривался ранее в связи с конверсией анну-

итетов. При этом для выполнения принципа эквивалентности не­обходимо было доплатить недостающую сумму (возникающую в результате округления полученного п) в начале периода погаше­ния. Вместо этого возможно также небольшое изменение размера срочных уплат.

Рассмотрим для прояснения ситуации пример.

Займ в размере 12000 ам. долл. выдан под сложную процент­ную ставку 4% годовых. Определить продолжительность периода погашения, если заемщик собирается выплачивать ежегодно по 1 500 ам. долл. Составить график погашения долга.

Рассчитаем сначала коэффициент приведения аннуитета ад д:

a 4,n = A/Р = 12 000 ам. долл./l 500 ам. долл. = 8.

По таблице определим приблизительно п, соответствующее данному коэффициенту и процентной ставке 4%. Так как nп = 10 соответствует коэффициент а 4,10 =8,11, возьмемnп = 9 и рассчи­таем для этого срока и современной величины А = 12 000 ам. долл. новое значение платежа Р. Используем для этого формулу (7.8), находя значение коэффициента приведения по таблице 4 Прило­жения 2.

Р = А/а 4,9 = 12 000 ам. долл./7 ,435 = 1 614 ам. долл.

Составим теперь график погашения долга, в который должны входить процентные выплаты, расходы по погашению долга, ос­таток долга на конец каждого года.

Используя выведенные ранее формулы, находим искомые зна­чения:

Небольшое расхождение в остатке долга на конец 8-го года и сумме последней выплаты на погашение происходит из-за округ­ления некоторых значений предыдущих сумм.

5. Погашение долга с использованием переменных срочных уплат

Во многих случаях предпочтительнее оказывается погашение долга с использованием переменных срочных уплат. Срочные уп­латы могут изменяться в соответствии с некоторой закономернос­тью или задаваться графиком погашения.

Рассмотрим случай, когда последовательность срочных уплат представляет собой арифметическую профессию с заданной раз­ницей h. При сроке погашения п и процентной ставке ic, исполь­зуя формулу (7.20), находим величину срочной уплаты Р:

Р = [А i c +nпh/(1 +ic) n - h а i,n ]/ исходя из которой разрабатывается план погашения долга.

6. На практике часто встречается случай, когда заранее задают­ся размеры всех срочных уплат, кроме последней, определяемой величиной остатка долга на начало последнего периода (см. при­мер 31).

Долг в размере 10 000 ам. долл. требуется погасить за пять лет, размеры срочных уплат в первые четыре года - 2 000 ам. долл., 2 000 ам. долл., 4 000 ам. долл., 1 500 ам. долл. Найти величину последней уплаты, если процентная ставка составляет 5% годо­вых.

Разработаем план погашения долга.

Проценты за первый год составляют

I1 = Dic=10 000 0,05 = 500 (ам. долл.).

Р1 = Y1 - I1 = 1 500 ам. долл.;

D1= D-P1 = 8 000 ам. долл.

Для последующих лет получаем

I2 = D 1 i с = 8500 ам. долл. 0,05 = 425 ам. долл.;

Р 2 = Y 2 -I 2 = 2 000 - 425= 1 575 (ам. долл.):

D 2 = D 1 -P 2 =8 500 - 1 575 = 6 925 (ам. долл.);

I 3 =D 2 ic=6925 ам. долл. * 0,05=346,25, ам. долл.;

Р 3 = Yз -Iз = 4 000 - 346,25 = 3 653,75 (ам. долл.);

D 3 = D 2 -Рз = 6 925 - 3 653.75 = 3 271,25 (ам. долл.);

I 4 =D 3 ic= 3 271,25 ам. долл. 0,05 = 163,56 ам. долл.;

P 4 =Y 4 -I 4 = 1500 - 163,56 = 1 336,44 (ам. долл.):

D 4 =D 3 -P 4 =3 271,25 - 1 336,44 = 1 934,81 (ам. долл.);

I 5 =D 4 ic = 1 934,81 ам. долл. 0,05 = 96,74 ам. долл.;

Y 5 =D 4 +I 5 =1934,81=96,74=2031,55 (ам. долл.); P4= D4= 1 934,81 ам. долл.

Итак, величина последней уплаты должна составить 2031,55 ам. долл.